线性代数
行列式
排列及其逆序数
- 定义
- 定理
- 定义
- 设有n^2个数字的组成一个nXn大小的数表，作出处于不同行不同列元素的乘积，并用(-1)^γ的符号作为这一项的符号，γ是所有下标的逆序数之和，我们把这样所有数表中的数字按照这种方式进行展开，最后得到的一串求和我们称为n阶行列式。
- 性质
- 性质一
- 行列式的转置与其本身相等(注意，行列式的本质实际上就是一个数字，代表的是一个结果，变成数表只是为了理解)
- 性质二
- 交换行列式的两行(列)行列式的符号要变号。
- 推论
- 如果行列式的两行都相等，则行列式的值等于零
- 性质三
- 行列式中的某一行中的所有元素都乘以同一个数字k，等于用数字k乘以这个行列式，就相当于把那个数字提出来。
- 推论
- 行列式中任意一行的所有元素的公因子都可以提到外面来
- 性质四
- 行列式中如果有两行(列)成比例，那么这个行列式的值为0
- 性质五
- 若行列式的某一列(行)的元素是两数之和，那么我们可以把行列式拆开成为对应两数的行列式的加和形式。
- 性质六
- 把行列式的某一行乘以k加到另外一行上面去，行列式的值不改变
- 性质七（行列式展开定理）
- 行列式等于它任意一行(列)的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和
- 理解：我们可以使用这种方法实现对于一个复杂行列式的降阶操作
- 推论
- 行列式的某一行(列)的元素与另外某一行(列)的元素的代数余子式的乘积之和为零
- 理解：
- 其实这样的操作构建了一个新的行列式，而这个行列式当中存在两行或者列的对应元素完全相等，那么自然也就是行列式的值为零
- 性质一
- 余子式
- 定义
- 把（i ，j）元素aij所在的行与列划掉之后余下的元素重新排列组成的新行列式称之为余子式
- 定义
- 代数余子式
- 定义
- 余子式乘以对应删除元素的(-1)^(i+j)，这个式子成为代数余子式。
- 定义
范德蒙行列式
- 定义
- 如果一个线性方程组的系数行列式不为零，这时我们说方程组有唯一的解
- 定理一
- 如果线性方程组的系数D≠0，则它一定有解，并且解是唯一的，也就是说，如果线性方程组的系数行列式的值为0，那么这个线性方程组有无穷多解或者说无解
- 定理二
- 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，那么我们说这个线性方程组没有非0解，也就是说，如果齐次线性方程组有非0解，那么这个齐次线性方程的系数行列式D=0一定成立。
- 线性方程组分类
- 向量组的定义以及运算
- 定义
- n维向量
- 由n个数字构成的有序数组是一个n维向量
- 实向量
- 分量全部都是实数的向量
- 复向量
- 分量全为复数的向量
- 行向量
- 列向量
- n维向量
- 运算
- 这不就跟高中学的一样嘛，这有啥，该咋算咋算
- 定义
- 向量组的线性组合
- 向量组
- 由多个想同维度的向量的组合
- 线性组合
- 设向量组A:a_1,a_2,a_3,…..,a_n,对于任意一组实数，与对应的A中向量相乘，得到新向量叫做向量组A的一个线性组合
- 线性表示
- 如果β是向量组A的一个线性组合，那么也就是说β可以被A线性表示
- 定理一
- 向量β可以被线性表示的充分必要条件是矩阵A=（a_1,…a_n）的秩与B= （a_1,…a_n,β）完全相同，啊！是不是有线性方程组那味儿了
- 向量组
- 向量组等价
- 线性相关
- 对于向量组A：a_1,a_2,…,a_n,存在有一个有n个数字的数组，当相应位上的相乘加和如果为0向量，则线性相关，否则称向量组线性无关
- 向量组线性相关性的判定定理
- 向量组a_1,a_2,…a_m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A的秩小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R（A）= m（十分好理解）
- 向量个数与维度关系
- 以我个人的理解，这个定理说的就是当向量组中向量的个数大于维度数的时候一定线性相关，为啥呢，应为秩矩阵的秩小于维度数，那么而向量组的向量又多于维度，则必有向量可以被其他的向量线性表示，所以线性相关
- 阿杰金言
- 向量组的秩
- 齐次线性方程组的结构
非齐次线性方程组
- 线性方程组的初等变换
- (1) 用一个非零的数乘以某一个方程的两端
- （2）用一个方程的两端乘以同一个数字加到另外一个方程的两端；
- （3）互换线性方程组中间的方程的位置
- 线性方程组的一般形式
- 矩阵的初等变换
- 定义
- 对于矩阵的行(列)进行下列着三种操作或者变换之一的称为对矩阵进行了一次初等变换
- ①(1) 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为ri，rj）；
- ②(2) 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）；
- ③(3) 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。
- 对于矩阵的行(列)进行下列着三种操作或者变换之一的称为对矩阵进行了一次初等变换
- Tips
- 矩阵在作初等变换时候不是相等变换，只能打箭头，而不可以写等号
- 定义
- 行阶梯形矩阵
- 定义
- 矩阵的0行都位于非0行的下方，各个非零行的第一个非零元素的列序数都由上至下严格递增
- 定义
- 行最简型矩阵
- 定义
- 每个非零行的第一个元素为1，每个非零行的第一个非零元素的列所在的其他元素都是0
- 定义
- 标准形矩阵
- 定义
- 如果一个矩阵的左上角是单位矩阵，其他的元素都是零矩阵，则称这个矩阵是单位标准形矩阵
- 定义
- 矩阵等价
- 定义
- 如果说矩阵A在经过了有限次初等变换以后变成了矩阵B，则称这个矩阵A等价于B，写作A~B
- 性质
- （1）反身性：A~A
- （2）对称性：若A
B则BA - （3）传递性：若A
B，BC，则A~C
- 定义
- 性质
- 子式
- 定义
- 在一个mxn的矩阵A中任取一个k行与k列，这些行与列的交汇点的k^2个元素都按照原来在矩阵A中的相对位置摆放得到的一个新矩阵叫做这个矩阵的一个k阶矩阵
- 定义
- 矩阵的秩
- 定义
- 在mxn的矩阵A中有一个r阶子式不等于0，而所有的r+1阶子式都等于0，则称r为矩阵的秩记作R（A）= r，规定零矩阵的秩为0
- 满秩矩阵
- 如果一个矩阵是一个方阵，如果他的秩等于n阶数，那么这个矩阵式满秩矩阵，否则为降秩矩阵
- 行满秩与列满秩
- 秩等于行数或者等于列数
- 性质
- （1）如果矩阵A中的某个k阶子式不等于0，则R（A）≥k
- （2）若矩阵A中所有K阶子式都等于0，那么我们说这个R（A）< k
- （3）矩阵A为mxn的矩阵，则0≤R（A）≤min{m，n}
- （4）R（kA）=R（A）
- （5）R（A）=R（A^T）
- （6）设矩阵A,B为行数相同的矩阵，则有
- 定义
- 秩的性质
- 定义
- 单位矩阵E在经过一次初等变换之后的得到的矩阵为初等矩阵
- 性质（重要）
- （1）初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵也是初等矩阵
- （2）对于mxn的矩阵A进行一次初等变换相当于A的左边乘以了相应m阶初等矩阵，相当于在右边乘以的n阶初等矩阵，很好理解，使用矩阵的乘法去看
（3）A是mxn的矩阵，则存在多个m阶矩阵，多个n阶矩阵在完成与A相乘之后，得到我们希望的标准形矩阵
- （4）n阶方阵A的可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P_1,P_2,…P_t使得A=P1P2P3..PS
- 推论1：
- PAQ=B
- P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵
- PAQ=B
- 推论2：
- R（PA）= R（AQ）= R（PAQ）= R（A）
推论3：
- 其中A为n阶方阵，B为n阶可逆方阵，可以理解为多个初等矩阵相乘，线性方程组的解
- 线性方程组有解的条件
- 有解的充分必要条件是R（A）= R（B）注意A是系数矩阵，B是增广矩阵
- 当R（A）= R（B）= n时有唯一解
- 当R（A） = R（B）< n 时，无穷多解（此时含有（n-r）个参数的解称为通解）
- 当R（A）≠ R（B），无解
- 也就是说R（A）+ 1 =R（B）
- 有解的充分必要条件是R（A）= R（B）注意A是系数矩阵，B是增广矩阵
- 定理一
- 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件时R（A）= R（B）
- 定理二
- n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）< n
- 定理三
- 由mxn个数字aij(i≤m，j≤n)排成的一个m行n列的一个数表.
记作
- 实矩阵
- 元素全是实数的矩阵就是实矩阵
- 复矩阵
- 元素全是复数的矩阵就是复矩阵
- n阶方阵
- 行数与列数都等于n的矩阵
- 行向量
- 只有一行的矩阵叫做行向量
- 形如上式即为行向量
- 只有一行的矩阵叫做行向量
- 列向量
- 只有一列的矩阵叫做列向量
- 上式为我们的列向量
- 只有一列的矩阵叫做列向量
- 同型矩阵
- 如果两个矩阵的行数与列数都相等的时候我们称这两个矩阵为同型矩阵
- 零矩阵
- 元素都为零的矩阵我们称为零矩阵
- 系数矩阵
- 对于线性方程组中的未知元的系数所构成的矩阵我们称之为系数矩阵
- 增广矩阵
- 系数矩阵加上右侧常量的矩阵
- 单位矩阵
- 单位阵是指从左上到右下角的对角线元素都是1，而其余部分都是0的矩阵
- 对角矩阵
- 不在主对角线上的元素都为0的矩阵‘
- 负矩阵
- 其实就是原矩阵加上一个负号的新矩阵
- 奇异矩阵
- 首先这是一个方阵，其次这个矩阵的行列式的值为0，则我们称这个矩阵为奇异矩阵
- 非奇异矩阵
- 矩阵的加法
- 定义
- 对于两个同型矩阵A和B，A+B，矩阵的加法就是对应元素相加
- 定义
- 矩阵的减法
- 定义
- 就是跟加法类似，无非就是加上了另外一个矩阵的负矩阵
- 定义
- 矩阵的数乘
- 定义
- 数λ与矩阵A=（aij）mxn的乘积叫做数乘，记作λA或者Aλ
- 法则
- (1)λ(A + B) = λA + λB
- (2)（λ + μ）A = λA + μA
- (3) （λμ）A = λ (μA)
- (4) 0A = 0
- 定义
- 矩阵的乘法
- 定义
- Tips
- (1) 只有左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等的时候，乘法AB才会有意义
- (2) 矩阵C=AB的行数是A的行数，列数是B的列数
- (3) 矩阵C=AB的（i，j）元Cij等于A的第i行元素与B的第j行元素乘积之和
- 矩阵的交换
- 定义
- 如果说两个矩阵A和B满足AB=BA，那么我们说这两个矩阵AB是可以交换的
- 可交换常用实例
- (1) 单位矩阵与任何同阶矩阵可以交换，即AE=EA
- (2) 任何两个同阶对角矩阵也是可以交换的
- 定义
- 运算律
- (1) A（B + C） = AB + AC (分配律)
- (2) （AB）C = A（BC）(结合律)
- (3) λ(AB)=(λA)B=A(λB)
- 有关线性方程组的部分
- 有了矩阵的乘法我们可以这样描述一个线性方程组
- Y = Ax
- Y为像，x为原像
- 有了矩阵的乘法我们可以这样描述一个线性方程组
- 方阵的幂
- 转置
- 定义
- 将一个矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作
- 运算法则
- (1)
- (2)
- (3)λ是一个数字
- (4)(非常重要同时也很好想清楚)
- 定义
- 对称矩阵与反对称矩阵
- 定义
- 设A为n阶方阵，如果A^T=A,则称A为对称矩阵，如果A^T=-A,则称A为反对称矩阵
- 性质
- 性质1 设A，B为同阶(反)对称矩阵，则A+(-)任然是（反）对称矩阵
- 性质2 设A，B为同阶对称矩阵，则AB（或者是BA）是对称矩阵的充要条件是AB=BA
- 性质3 设A为（反）对称矩阵，那么A^T，λA也都是(反)对称矩阵
- 性质4 对任意方阵A，H=1/2（A + A^T）,S=1/2(A-A^T)分别是对称矩阵，反对称矩阵，且A=H+S
- 定义
- 方阵的行列式
- 定义
- 由n阶方阵A的元素构成的行列式（各个元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或者detA
- 性质
- （1）|A^T| = |A|(行列式性质1)
- (2) |λA| = λ^n|A|（由矩阵的数乘运算和行列式的性质三得到）
- （3）|AB|=|A||B|
- Tips
- (1)一般来说，|λA|≠λ|A|
- (2)一般来说，|A + B| ≠ |A| + |B|
- （3）对于n阶方阵A,B，AB≠BA，但是总有|AB|=|BA|=|A||B|成立
- 伴随矩阵
- 定义
- 定义
- 对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，并且把矩阵B称为A的逆矩阵，记作B=A^(-1)
- 一些公知
- （1）A和A^(-1)是同阶方阵
- （2）A和A^(-1)互为逆矩阵
- （3）如果矩阵A可逆，那么A^(-1)存在且唯一（使用假设法直接看穿答案）
- 方阵可逆的条件
- 定义
- 将矩阵A使用若干条纵线和横线分成很多的小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
- 说人话
- 就是矩阵里面的元素变成矩阵了，不再是个数字了，这样反观，前面有关于矩阵的定义实际上可以更改了，也可以是矩阵套矩阵。
- 运算
- 运算与矩阵运算完全一致，就是符合矩阵的运算法则
- 常用的分块方式
- 函数与标量，向量，矩阵
本质
- 这是按照列向量的展开
- 矩阵求导
内积
- 向量对自己做自运算，得出内积就是番薯的平方
n维向量的长度
- 正交
- 当[x,y]=0的时候我们称这两个向量正交
- 正交向量组
- 正交矩阵
- 特征值与特征向量
- 相似矩阵·
- 二次型的概念
- 包含二次项及其交叉项的二次齐次函数的
- 在线性代数这一章里面我们主要研究的是如何把二次型通过矩阵变换完全转换成为只有二次项的函数，也就是不包含交叉项
- 包含二次项及其交叉项的二次齐次函数的
- 二次型的标准形（法式）
- 只含有二次项
二次型的书写
- A是系数矩阵，是非常完美的对称矩阵。 - 在上面这条性质的分析，如果能够把这个A换成一个对角矩阵，那么不就是标准的二次型了嘛矩阵的合同关系
- 三个性质，别人有的它都有- 合同矩阵的求法
- 一件事，放在左边的变化是列的变化，行的变化放在右边，那么写成左上角是我们的被变化矩阵，右上与坐下分别写上一个单位矩阵，在经过若干次变换之后，把左上角的矩阵转化成为对角矩阵之后记录下来的就是我们的对应的合同变化矩阵项
- 合同矩阵的求法
- 正定二次型
- 惯性定理
- 首先对于一个二次型的转化方式有很多种，但是有一个东西不会变，也就是惯性指数不会变
- 正惯性系数
- 二次型种正系数的个数被称为二次型的正惯性系数
- 负惯性系数
- 二次型中负系数的个数被称为二次型的负惯性系数
- 正惯性系数
- 首先对于一个二次型的转化方式有很多种，但是有一个东西不会变，也就是惯性指数不会变
- 正定，负定，不定
- 如果一个二次型的所有系数都是非负数，那么这个二次型就是正定二次型
- 推论，如果一个是对称矩阵的所有特征值都是正值，那么这个实对称矩阵就是正定的
- 如果一个二次型的所有系数都是非正数，那么这个二次型就是负定二次型
- 如果说一个二次型系数既有正数又有负数，那么这个二次型就是负定二次型
- 如果一个二次型的所有系数都是非负数，那么这个二次型就是正定二次型
- 求法
- 首先写出系数矩阵，回想我们的正交矩阵，一个矩阵左右乘上正交矩阵，最后会化简为一个对角矩阵，这就是我们想要的。所以找到一个正交矩阵就好了。
- 如何找到正交矩阵
- 实对称矩阵的对角化
- 有特征多项式求出特征向量，在对向量变换使其正交，最后得到我们的正交矩阵
- 实对称矩阵的对角化
- 如何找到正交矩阵
- 首先写出系数矩阵，回想我们的正交矩阵，一个矩阵左右乘上正交矩阵，最后会化简为一个对角矩阵，这就是我们想要的。所以找到一个正交矩阵就好了。
- 惯性定理
- 定理（各阶主子式）（赫尔维兹定理）
- 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶主子式都为正，
- 对称矩阵如果说奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，那么这个对称矩阵就是负定的
- 拉格朗日配方法