高等数学

定积分

定义

• 定积分的本质实际上就是函数的这种表现形式是有极限的

  定理一

• • 连续函数必有积分

    定理二

• • 有界函数，如果有限个间断点的话，就可积
    • 迪利克雷函数有无数个间断点，所以不算

      性质

• 积分内部的常数可以外提
• 积分区间可以拆解
• 积分的保号性
• 积分的大小在函数的最大值区间与最小值区间面积之间
• 积分中值定理：积分的大小总是可以在被积区间中找到一个值乘以被积区间以后得到整个积分的真实值

  微积分基本公式

• 牛顿莱布尼兹公式
• 定理一，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么函数有原函数

  定积分换元法与分部积分法

• 换元法

  • 理解，就是换了个变量表示这个函数，比如这时候我们把φ的导数导入到微分式子里面，那么我们的积分区间就得改变，不再是t的α到β，而是φ函数的值域

• 分部积分法

  • 就跟原来一个样子，注意得加上被积函数一定得算出来，别掉了减法

    反常积分

• 无限项的反常积分

  • 定义一

    • 个人感觉感觉反常积分与有界函数的关系非常大，例如我们的arctan(x)函数就是上界为二分之Π
    • 用到的很多是我们的换元积分法，最后化简为一个有上界的函数就ok
• 无界函数的反常积分
  • 推广到一个区间中，如果出现了在一个点的邻域内都无界，那么称这个点为这个函数的一个瑕点，无界函数的反常积分又称为瑕积分
  • 就是极限趋近的时候有极限
  • 瑕点断开求积分，极限使用，其实一般都是化成那种有上下界的函数像是反三角函数之类的
  • 能用换元积分就用，理论是差不多的，当发现都换好了之后再把积分区间的上下界换掉

    反常积分审敛法

• 函数有界就收敛
• 比较审敛法，如果一个函数总小于一个收敛函数，那么这个函数也是收敛的
• 极限审敛法
  • 待完成

    函数与极限

    函数的性质

• 有界性
  • 函数在定义域范围内恒小于一个值表示这个函数有上界，如果函数在某一个范围内恒大于一个值表示这个函数有下界，如果函数的绝对值恒小于一个值表示这个函数有界
• 有关于函数的性质的方面直接跳过，高中已经学过，无非就是我们函数的单调性，周期性，奇偶性，外加一个有界性

• 有关三角函数的和差化积公式

  • 记忆方法
    • 同号为cos，异号为sin
      sin在后为负

      数列的极限

• 定义，n趋近于无穷的时候我们数列的值趋近于一个确定的值
• 一般定义方法
  • 设数列为|xn|为一个数列，当如果存在一个常数a，对于任意给定的正数&(不论它多么小，总存在正整数N使得当n>N时候我们的不等式|xn - a|<& 成立)
• 唯一性
  • 数列收敛，那么只可能收敛于一个值
• 有界性
  • 收敛就一定有界
• 保号性
  • 如果极限的符号可以确定，那么存在一个正整数N当n>N时后面多有的Xn符号都确定
  • 推论，如果反过来，对于Xn来讲，我们同样可以认为极限的符号时是于数列的符号相同的
• 收敛与子数列之间的关系
  • 如果一个数列收敛于一个值，那么他的子数列也必然收敛于同一个值
  • 相反的如果一个数列不收敛，我们不可以说他的所有子数列不收敛，这样是非常不严谨的

    函数的极限

• 自变量趋近于有限值

  • 注意，我们研究的是极限，所以只要求是去心邻域就OK了，这里面所有的值都不唯一，我们找的δ的值适用于一切的ε都成立，实际上也就是要找到相关关系。
  • • 所有的变化情况中的不等式画出图来就是这样的。

• 自变量趋近于无穷大时的函数的极限

  • 其实没啥意思，就跟上面的长得一模一样，我们要注意的是对于x来讲是同时正无穷和负无穷都可以行的，不能两边趋近于不同的值。
  • 具体的例子比如说我们的反比例函数
• 函数极限的性质
  • 唯一性
    • 函数有极限，极限唯一
  • 局部有界性
    • 如果函数有极限，那么在一定范围内存在常数N>0和δ> 0 使得|f(x)| <M
  • 局部保号性
    • 跟数列的极限保号性是一个玩意儿
    • 推论
      • 如果这个函数在某一个领域内有极限A，那么在这个领域里面所有的函数值都大于A/2
      • 证明用到了绝对值不等式
  • 函数极限于数列极限之间的关系
    • 可以说数列就是函数的一个子数列

      无穷大与无穷小

• 无穷小

  • 性质

• 无穷大

  • 要证明无穷大实际上就是要把δ与M之间的关系式子找到，注意先分析的是f(x)那一个式子，后面分析的才是我们的δ的取值，注意需要去迎合我们的f(x)那一个式子
• 无穷大与无穷小之间可以转化
  • 证明取特值

    极限运算法则

• 两个无穷小的和为无穷小
• 有界函数乘以无穷小的无穷小
• 常数个无穷小的乘积是无穷小
• 有限个无穷下的乘积的是无穷小
• 如果函数A的极限为A，函数B的极限为B那么两个极限和差乘除都为对应极限的变化值

• 运算法则

• 复合函数极限
  • 顾名思义就是嵌套函数的极限问题，很好相通

    重要极限

• 夹逼准则

  • • 分类使用夹逼准则

• 单调有界必有极限

• 无穷小的比较

• 高阶无穷小就是更小的哪一个，同阶的表示为比值为定值，而不是改变的像是无穷大，或者是无穷小这样的，k阶无穷小是在分母乘以k阶之后出现了比值为常数的情况，这时候称为k阶无穷小，比值如果为1，那么为等价无穷小。

  连续性与间断点

• 连续性

  -

• 间断点

  • 无穷间断点
    • 极限趋近于无穷的间断点是无穷间断点
    • 如果补充定义Xo的值发现连续则为可去间断点，其实实际上也就是其左右极限都存在且相等
    • 跳跃间断点，其实就是值不确定的间断点
    • 第一类间断点，左右极限都存在
    • 第二类间断点，不是第一类的都是第二类间断点

      连续函数的运算与初等函数的连续性

• 初等函数在其定义域内都是连续的

  闭区间上的连续函数的性质

• 有界性与最大值最小值
  • 在闭区间上的连续函数在该区间上有界，则一定可以取得最大最小值
• 零点定理与介值定理
  • 零点定理
    • 函数在闭区间上连续，且有两个值一个大于零一个小于零，则一定至少有一个零点

  • 介值定理

    • 推论

  • 一致连续
    • 也就是说我们不在考虑某一个点处是否是连续的了，而是考虑这个函数对于任意两个临近的函数值之间是否是连续的。

      导数与微分

      关于导数

• 常见的形式

• 导数存在的判定定理
  • 函数在点x的左右导数相等且连续则在x处有导数
• 可导与连续性之间的关系
  • 可导一定连续
    • 连续不一定可导
      • 例如x的绝对值
• 求导法则
  • 没啥意思，就跟以前学的一样
  • 反函数的求导法则
    • 反函数的导数为函数导函数的倒数

  • 导数

• 高阶花里胡哨导数
  • 三阶以上的导数都被称作为高阶导数

    微分

• 可导必可微
  • 我自己理解来看，微分就是相当于在导数的增长速率上面的微小增量。在x的变化量非常小的时候我们将在导数下的增长量加上一个无穷小就可以的得到这个确切值，就很精确的模拟了y的增量
• 运算法则照搬我们的求导法则，只是在最后乘以dx就好了
• 求微分也是一样的
  • 按照求导的法则来，最后乘以我们的微分式子dx

• 常用微分式子

  微分中值定理与导数的应用

  微分中值定理

• 费马引理
  • 说的就是一个函数如果在某一个邻域里面有定义的话，我们的可以在这个邻域里面找到一个点，其对应的纵坐标值比这个邻域里面所有的值都大或者小，那么我们就说这个点的导数为0（理解误区，不要这个是非常充分的条件，非常完美的定理）
  • 证明方法
    • 就是使用的是我们的假设法，假设其的大小关系是如何如何，分Δx的正负表示导函数，左右夹逼只能得出那个导数确实是0

• 罗尔定理

  • 自己的理解：这个就跟零点定理一样显然，我们要证明的时候，由于函数在闭区间里面一定有一个最大最小值，所以分下情况就知道了，我们的函数会由于费马定理得到我们的导数为零的那个点，当然，由于费马引理说的是邻域里面的，所以会出现多个值，这当然是极其有可能出现的

• 拉格朗日

  • 我自己对这个定理的一些理解：首先这个是一个描述导数取值的定理，其实这个定理就是我们罗尔定理的更加一般的情况，没错就是这样。

  • 证明方法：

  • 反思
    • 发现拉格朗日相比于我们的罗尔，条件更加少了，更加方便了，注意只有一个变量了
  • 推论
    • 如果一个函数在区间I上连续，I内可导且导数恒定为0，那么f(x)在区间I上是一个常数
• 柯西中值定理
  • 引入

    • 我们发现当函数的解释是使用我参数方程的形式打印的时候我们的会得到一个全新的表示斜率的方式

  • 条件

  • 证明

    • 证明的过程是在寻找一个适合于这个方程的罗尔形式，

    • 证明任然和那个是一模一样的，但是为什么不用拉格朗日呢，应为可能出现重合的情况
• 洛必达法则

  • 定理一

  • 证明方法
    • 使用我们的微分中值定理
      • 同时趋近于a这时就成立了

  • 定理二

    泰勒公式

• 定理一

  • 理解
    • 这个函数实际上在n阶以前都是完全相同的拟合程度，也就是说完全和那个p（x）相同，所以才会出现我们前n-1个R（x）都是0
  • 带上的这种形式的余项就是我们说的佩亚诺余项
  • 有关余项的证明
    • 使用洛必达法则对（x-x_0）^n就可以求得我们的Rn为无穷小
• 定理二

  • 泰勒中值定理

    • 在零处展开的就是我们所说的麦克劳林公式

    • 误差估计式

• 常用泰勒展开式

  凹凸性

• 一个使用凹凸函数的判定定理进行判定
• 一个使用我们二阶导数进行判定，大于0开心，笑脸，所以是凹函数，小于零不开心，所以是凸函数

  极值的充分定理

• 第一充分定理
  • 这个就是与我们的一阶导数有关，，某一个函数连续可导，如果在一个邻域里面发生了导数的符号变化，则有可能是极值的出现
• 第二充分定理
  • 第二个与我们的二阶导数有关系，如果一个函数有二阶导数且一阶导数为0，二阶导不为零，那么可以通过我们的二阶导数的正负来判断我们的极大极小值，其实这个依旧是我们的一阶导数之间的关系罢了，二阶导可以解释相关一阶导数的一些正负性质

    曲率

• 弧微分
  • 定义，就是函数一段弧的长度的微分

    • 显然可以使用勾股定理来得到

• 光滑曲线
  • 每一点都可导，而且切线随切点连续转动，这样的就是光滑曲线

• 曲率

    - 转动角度与弧长变化量之比

  • 曲率求到极限就是瞬时曲率

• 曲率圆，曲率半径

  不定积分

  原函数

• 就是导数是目前给定的函数的一个函数，求回原函数的方法就是求原函数的过程，合情合理

• 积分的条件
  • 函数连续，一定有原函数

    积分符号

• 性质

• 积分的可加性

• 积分求导

• 常数提出

  • 就跟求导时候一样的，无需去管挂在前面的数值

    换元积分法

• 第一类换元积分法
  • 原理
    • 求导的过程是一个对复合函数不断刨析的过程，那么也就是说我们函数在求积分的时候也可以不断的往回求

  • 公式

• 第二类积分法
  • 原理
    • 就是为了解决有些方程的开方问题，其实就是换元的道理

  • 公式

  • 注意
    • 在换元的时候我们的dx也跟着变化了。

      分部积分法

• 原理

  • 微分的公式的应用

    积分计算巧篇

• 出现tan方可以考虑往sec方向发展，主要方便计算，真的很方便
• 对于同次分母分子性，可以考虑是不是可以使用凑的方法
• 有些式子可以凑其次，注意积分的实质是求原函数，有些裂项会让我们的数据非常漂亮

• 有理数积分

• 所有的分式都可以化作积分的形式，只是好不好话的问题
  • 首先分式可以拆解称为多项式和的形式，当我们的在组合的时候注意系数的关系，并且我们的所拆分的式子绝对之间是独立的，也就是说无公因式可以提出来，这是重点。
• 转化的方向朝着ln，于arctanx方向转化，这两个是比较方便的，有些时候我们需要使用配凑的方法去找到具有相似关系的式子，一定要注意实在不知道咋写，可以对分母求个导，看看结果是否达到预期，咋配凑，另外我们在解系数的时候，要记得可以使用待定系数的方法，有些式子由于是一次的形式，所以很好看出根是多少，因此也就很方便计算了。

  零碎的想法

  对于导数来讲，是否可以理解为两个函数之间等价无穷小之间的比较，那么试问复合函数的导数怎么理解，两个函数之间的导数关系，也还不是两个等价无穷小之间的比较，

• 关于导数

• 导数存在也就是说原函数连续，算是一个隐含条件

• 老师讲的方法是把b换成x从一般性的角度入手证明，最后换成b得到我们想要的结果

  同时乘以sec，tan这样就转化成了对应的求导方向

  常见导数

赏

mia mia mia